제4장 · 비와 비율 — 문제 해결의 기술

4.1정비례와 반비례

비(ratio)는 두 양의 상대적 크기를 말한다. 사과 6개와 배 4개의 비는 6 : 4, 약분하면 3 : 2. 비례는 그 관계가 변하지 않는 상황을 다룬다.

정비례 (Direct Variation)

한 양이 커질 때 다른 양이 같은 배수로 커지면 정비례다. y가 x에 정비례하면 y = kx 꼴이며, 여기서 k는 비례상수(constant of proportionality)다. 핵심 특징: y/x 는 항상 일정하다.

반비례 (Inverse Variation)

한 양이 커질 때 다른 양이 같은 비율로 작아지면 반비례다. y = k/x, 즉 xy = k. 핵심 특징: 두 양의 곱이 일정하다. 일정한 거리를 갈 때 속력과 시간의 관계가 대표적이다.

정비례와 반비례 — Direct & Inverse Variation

정비례: y = kx ⟺ y / x = k (일정)
반비례: y = k / x ⟺ xy = k (일정)

k 는 0이 아닌 비례상수. 정비례는 몫이, 반비례는 곱이 변하지 않는다 — 이 한 가지를 잡으면 모든 비례 문제가 풀린다.

예제 4-1 반비례의 활용

문제. 일꾼 6명이 어떤 일을 8일에 끝낸다. 같은 일을 4명이 하면 며칠 걸리는가? (일꾼은 모두 같은 속도로 일한다.)

풀이. 일의 양이 일정하므로 (일꾼 수)×(일수)가 일정하다 — 반비례다. 6 × 8 = 48이 그 상수. 4명이면 4 × d = 48, 즉 d = 12일. 사람이 적으면 시간이 늘어난다 — 곱이 일정하다는 사실이 답을 준다. ∎

4.2비례식 다루기

비례식(proportion)은 두 비가 같다는 등식, a/b = c/d 꼴이다. 비례식은 결국 분수 방정식이므로 일차방정식의 도구가 모두 통한다.

가장 유용한 변형은 교차곱(cross-multiplication)이다. 양변에 bd를 곱하면 분수가 사라지고 ad = bc가 된다. "X자 모양으로 곱한다"고 외우지 말고, 분모를 없애는 과정으로 이해하라.

교차곱 — Cross Multiplication

a / b = c / d ⟺ ad = bc

b, d ≠ 0. 양변에 bd 를 곱하면 자동으로 나온다. 비례식에서 미지수가 하나면 교차곱 후 즉시 풀린다.

예제 4-2 비례 배분

문제. 사탕 60개를 두 아이에게 3 : 5의 비로 나누어 주려 한다. 각각 몇 개씩 받는가?

풀이. 비례 배분의 핵심 기술: 비를 "몫의 개수"로 본다. 비 3 : 5는 전체를 3 + 5 = 8개의 똑같은 몫으로 나눈다는 뜻. 한 몫의 크기는 60 ÷ 8 = 7.5개. 따라서 첫째 아이는 3 × 7.5 = 22.5개, 둘째 아이는 5 × 7.5 = 37.5개. 합 60 ✓. ∎

직관 — 비를 "단위 몫"으로 보기 a : b로 나눈다는 것은 전체를 a+b개의 똑같은 조각으로 자른 뒤, 한쪽이 a조각, 다른 쪽이 b조각을 갖는 것이다. 비 문제가 막히면 항상 "한 조각의 크기는 얼마인가?"로 돌아가라.

모션 · 비례 배분 — 전체를 몫으로 자른다 01 / 5

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4.3환산 인자 — 단위를 갈아타다

환산 인자(conversion factor)는 "값은 1이지만 단위를 바꾸는" 영리한 분수다. 곱해도 양은 변하지 않고 표현만 달라진다.

예를 들어 1 m = 100 cm이므로 분수 (100 cm)/(1 m)의 "값"은 1이다. 어떤 길이에 이것을 곱하면 미터가 센티미터로 갈아타진다. 핵심은 없애고 싶은 단위가 약분되도록 분수의 위아래를 배치하는 것이다.

예제 4-3 단위 사슬 환산

문제. 시속 72 km는 초속 몇 m인가?

풀이. 두 번의 환산이 필요하다 — km를 m로, 시(hour)를 초(second)로. 단위가 약분되도록 분수를 늘어놓는다:

72 km/h × (1000 m / 1 km) × (1 h / 3600 s)

km와 h가 위아래에서 상쇄되고 m/s만 남는다. 계산: 72 × 1000 / 3600 = 72000 / 3600 = 20. 답은 초속 20 m. 단위가 약분되는지 보면 식이 맞았는지 자동으로 검증된다. ∎

기억할 기법 — 단위는 약분된다 환산할 때 단위를 대수 기호처럼 다루어라. km를 없애려면 km가 분모에 오는 인자를 곱한다. 최종 단위가 원하는 것과 일치하면 — 계산을 하기도 전에 식의 구조가 옳다는 보증이 된다.

4.4백분율

백분율(percent)은 분모를 100으로 고정한 비일 뿐이다. "퍼센트(per cent)"는 라틴어로 "100마다"라는 뜻. 37% = 37/100 = 0.37.

백분율 문제의 거의 전부는 한 가지 식으로 환원된다: (부분) = (비율) × (전체). 셋 중 둘을 알면 나머지가 나온다.

증가와 감소

"20% 증가"는 원래의 1.20배, "20% 감소"는 0.80배다. 연속된 변화는 이 인수들을 곱한다 — 더하지 않는다.

백분율 변화 — Percent Change

p% 증가 → ×(1 + p/100)
p% 감소 → ×(1 − p/100)

연속 변화는 인수를 곱한다. 20% 올랐다 20% 내리면 ×1.2×0.8 = ×0.96 — 원래로 돌아오지 않는다.

예제 4-4 연속 백분율 변화

문제. 어떤 상품 가격이 먼저 20% 올랐다가, 다음 달에 20% 내렸다. 처음 가격과 비교하면 지금 가격은?

풀이. "올랐다 내렸으니 제자리"는 흔한 함정이다. 원래 가격을 P라 하자. 20% 인상 후 1.2P. 그 가격에서 20% 인하 — 인하는 새 가격을 기준으로 한다: 1.2P × 0.8 = 0.96P. 결국 처음보다 4% 싸졌다. 인상의 기준액(P)보다 인하의 기준액(1.2P)이 크기 때문이다. ∎

함정 — 퍼센트는 더해지지 않는다 20% 증가 후 20% 감소는 0%가 아니라 −4%다. 두 변화의 기준액이 다르기 때문이다. 백분율 변화는 언제나 인수를 곱하는 것으로 처리하라.

4.5예제 모음 — 경시 문제 맛보기

도전 4-A 세 양의 연비

문제. a : b = 2 : 3, b : c = 4 : 5일 때 a : b : c를 구하라.

풀이. 두 비에서 b의 값이 3과 4로 다르다. b를 두 수의 최소공배수 12로 맞추자. 첫 비에 4를 곱하면 a : b = 8 : 12, 둘째 비에 3을 곱하면 b : c = 12 : 15. 이제 b가 12로 일치하므로 a : b : c = 8 : 12 : 15. ∎

도전 4-B 소금물 농도

문제. 8% 소금물 200g과 12% 소금물 300g을 섞으면 농도는 몇 %인가?

풀이. 농도 문제는 소금의 양을 추적하는 것이 핵심이다. 섞어도 소금의 총량과 물의 총량은 보존된다. 첫 용액의 소금: 200 × 0.08 = 16g. 둘째 용액의 소금: 300 × 0.12 = 36g. 총 소금 52g, 총 소금물 200 + 300 = 500g. 농도 = 52 / 500 = 0.104 = 10.4%. ∎

모션 · 정비례 vs 반비례 — 두 곡선 이야기 01 / 4

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이 장의 핵심 비례는 절대적 크기가 아니라 관계를 다룬다. 정비례는 몫이, 반비례는 곱이 일정하다 — 이 한 문장이 모든 문제의 열쇠다. 환산 인자는 "값 1짜리 분수"로 단위를 갈아타게 하고, 백분율은 분모가 100인 비일 뿐이다. 연속 변화는 항상 인수를 곱하라.

관련비례식과 일차방정식 관련닮음과 비 관련평균과 비