제3장 · 일차방정식과 연립방정식

3.1일차방정식이란

일차방정식(linear equation)은 미지수가 1제곱으로만 나타나는 방정식이다. x², √x, 1/x 같은 것이 없다. 그래서 "linear" — 그래프가 직선이다.

일차방정식을 푸는 단 하나의 원리는 천칭의 균형이다. 등호는 양쪽이 같다는 선언이다. 양변에 똑같은 일(같은 수를 더하기, 빼기, 0이 아닌 같은 수로 곱하기·나누기)을 하면 균형은 깨지지 않는다.

목표는 언제나 같다 — 미지수를 한쪽에 홀로 남기는 것. 이를 위해 방해되는 것을 반대 연산으로 하나씩 벗겨낸다.

일차방정식의 표준형 — Standard Form

ax + b = 0 ⟹ x = −b / a (a ≠ 0)

a, b 는 상수, a ≠ 0. a = 0 이면 더는 방정식이 아니거나(b ≠ 0, 해 없음) 항등식(b = 0, 모든 x가 해)이 된다.

예제 3-1 양변을 벗겨내기

문제. 3(x − 4) + 5 = 2x − 1을 풀어라.

풀이. 먼저 좌변을 전개·정리한다: 3x − 12 + 5 = 3x − 7. 방정식은 3x − 7 = 2x − 1. 양변에서 2x를 빼면 x − 7 = −1, 양변에 7을 더하면 x = 6. 검산: 좌변 3(2)+5 = 11, 우변 12−1 = 11. 일치. ∎

함정 — 0으로 나누기 양변을 같은 수로 나눌 때 그 수가 0이 아님을 반드시 확인하라. 미지수가 든 식(예: x − 2)으로 나눌 때는 특히 위험하다. 그 식이 0이 될 가능성을 따로 검토해야 한다.

3.2한 방정식, 한 미지수

미지수가 하나면, 방정식 하나로 충분히 풀린다. 분수가 섞인 방정식이라도 두려울 것 없다 — 양변에 분모의 최소공배수를 곱해 분수를 한 번에 없앤다.

예제 3-2 분수 방정식

문제. x/2 + x/3 = 10을 풀어라.

풀이. 분모 2와 3의 최소공배수는 6. 양변에 6을 곱하면 3x + 2x = 60, 즉 5x = 60, x = 12. 분수를 처음부터 없애면 계산이 깔끔하다. ∎

풀이 절차 — 일차방정식 한 미지수

# 목표: x 를 홀로 남긴다
1. 괄호를 전개한다  (분배법칙)
2. 분수가 있으면  최소공배수를 양변에 곱한다
3. 미지수 항은 한쪽, 상수 항은 반대쪽으로 모은다
4. 동류항을 정리한다  →  ax = b
5. 양변을 a 로 나눈다  →  x = b/a
6. 원래 식에 대입해 검산한다

3.3두 방정식, 두 미지수

미지수가 둘이면 방정식 하나로는 부족하다. 미지수의 개수만큼 독립적인 방정식이 있어야 답이 하나로 정해진다.

연립방정식을 푸는 두 가지 정공법이 있다.

대입법 (Substitution)

한 방정식에서 한 미지수를 다른 미지수로 표현한 뒤, 그것을 다른 방정식에 대입한다. 그러면 미지수가 하나뿐인 방정식이 되어 풀린다.

소거법 (Elimination)

두 방정식을 적절히 상수배한 뒤 더하거나 빼서, 한 미지수의 계수를 상쇄시킨다. 어느 한 미지수가 사라지면 나머지 하나가 즉시 풀린다.

연립일차방정식 — System of Two Equations

a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂

두 직선이 한 점에서 만나면 해는 하나, 평행하면 해 없음, 겹치면 해가 무수히 많다. 대입법과 소거법은 같은 답에 이르는 두 길이다.

예제 3-3 소거법으로 푸는 연립방정식

문제. 다음 연립방정식을 풀어라.
2x + 3y = 13 …①
4x − y = 5 …②

풀이. y를 소거하자. ②의 양변에 3을 곱하면 12x − 3y = 15 …②′. 이제 ①과 ②′를 더하면 y가 사라진다: 14x = 28, 즉 x = 2. 이를 ②에 대입: 4(2) − y = 5, y = 3. 따라서 (x, y) = (2, 3). 검산: ①에 넣으면 4 + 9 = 13 ✓. ∎

모션 · 소거법 — 한 미지수를 지운다 01 / 5

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직관 — 두 직선의 교점 일차방정식 하나는 평면 위의 직선 하나를 나타낸다. 연립방정식을 푸는 것은 곧 두 직선의 교점을 찾는 일이다. 교점이 유일하면 해가 하나, 평행하면 해 없음, 같은 직선이면 해가 무한히 많다.

3.4문장제 — 말을 식으로

문장제(word problem)의 어려움은 계산이 아니라 번역에 있다. 한국어(또는 영어)로 쓰인 상황을 수식의 언어로 옮기는 것 — 이것이 진짜 기술이다.

번역의 첫걸음은 언제나 같다. "무엇을 모르는가?"를 정하고, 그것에 문자를 붙인다. 그다음 문장이 제공하는 관계를 하나하나 등식으로 적는다. 미지수가 n개라면 독립된 방정식 n개를 찾아야 한다.

문장제 번역 절차

# 말 → 식 → 답 → 말
1. 구하려는 것에 변수를 붙인다  ("x = 사과의 개수")
2. 문장 속 관계를 등식으로 하나씩 옮긴다
3. 미지수 수 = 방정식 수 인지 확인한다
4. 방정식을 푼다  (대입 / 소거)
5. 답이 문제의 상식에 맞는지 본다  (음수 개수? 등)

예제 3-4 나이 문제

문제. 현재 아버지의 나이는 아들의 나이의 4배다. 10년 후에는 아버지가 아들의 2배가 된다. 현재 두 사람의 나이는?

풀이. 아들의 현재 나이를 x라 하자. 그러면 아버지는 4x. 10년 후 아들은 x + 10, 아버지는 4x + 10. "10년 후 아버지가 아들의 2배"라는 문장을 식으로:

4x + 10 = 2(x + 10)

전개하면 4x + 10 = 2x + 20, 정리하면 2x = 10, x = 5. 따라서 아들은 5세, 아버지는 20세. 검산: 10년 후 아들 15, 아버지 30 — 정확히 2배 ✓. ∎

예제 3-5 거리·속력·시간 문제

문제. A지점에서 B지점까지 시속 60km로 가고, 같은 길을 시속 40km로 돌아왔다. 왕복 평균 속력은?

풀이. 함정에 빠지지 말자 — 답은 50km/h가 아니다. 평균 속력은 (총 거리)÷(총 시간)이다. 편도 거리를 d라 하면 갈 때 시간 d/60, 올 때 시간 d/40. 총 거리 2d, 총 시간 d/60 + d/40 = (2d + 3d)/120 = 5d/120 = d/24.

평균 속력 = 2d ÷ (d/24) = 2d · 24/d = 48. 답은 48 km/h. 느린 구간에 시간을 더 쓰므로 평균은 산술평균보다 작다. ∎

함정 — 평균 속력은 산술평균이 아니다 같은 거리를 두 속력으로 갈 때 평균 속력은 두 속력의 조화평균이지 산술평균이 아니다. "총 거리 ÷ 총 시간"이라는 정의로 돌아가면 절대 틀리지 않는다.

3.5예제 모음 — 경시 문제 맛보기

도전 3-A 동전 문제

문제. 100원짜리와 500원짜리 동전이 모두 20개 있고, 총액은 6,800원이다. 각각 몇 개인가?

풀이. 100원 동전을 x개, 500원 동전을 y개라 하자. 개수 조건 x + y = 20, 금액 조건 100x + 500y = 6800. 둘째 식을 100으로 나누면 x + 5y = 68. 여기서 첫 식을 빼면 4y = 48, y = 12, 따라서 x = 8. 100원 8개, 500원 12개. ∎

도전 3-B 대칭을 이용한 영리한 풀이

문제. x + y = 7, x − y = 3일 때 x² − y²의 값은?

풀이. x와 y를 따로 구할 수도 있지만 더 빠른 길이 있다. x² − y² = (x + y)(x − y)라는 항등식을 쓰면 (제8장 참조), 곧바로 x² − y² = 7 · 3 = 21. 구하라는 것을 이미 아는 것으로 표현하면 미지수를 풀 필요조차 없다. ∎

모션 · 연립방정식 = 두 직선의 교점 01 / 4

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이 장의 핵심 일차방정식 풀이는 천칭의 균형이라는 한 원리에서 나온다. 연립방정식은 미지수 수만큼의 독립된 천칭이 필요하며, 기하적으로는 직선들의 교점이다. 문장제의 진짜 기술은 계산이 아니라 말을 식으로 번역하는 일 — 모르는 것에 문자를 붙이는 데서 모든 것이 시작된다.

관련비례와 환산 관련이차방정식 관련일차함수의 그래프