제2장 · 복소수 — 문제 해결의 기술

2.1−1의 제곱근

실수 범위에서 x² + 1 = 0은 풀 수 없다. 어떤 실수든 제곱하면 0 이상이기 때문이다. 그러나 수학자들은 막다른 길에서 멈추지 않고, 새 수를 발명했다.

허수 단위(imaginary unit) i를 "제곱하면 −1이 되는 수"로 정의한다. 즉 i² = −1. 음수, 무리수, 0이 그랬듯 — 처음엔 낯설지만 일관된 규칙을 따르면 완벽히 작동하는 수다.

i의 거듭제곱은 네 개의 값을 순환한다. i¹ = i, i² = −1, i³ = i²·i = −i, i⁴ = (i²)² = 1. 그 다음 i⁵ = i로 처음으로 돌아간다 — 시계처럼 4를 주기로 돈다.

허수 단위 — The Imaginary Unit

i = √(−1) , i² = −1
i¹ = i , i² = −1 , i³ = −i , i⁴ = 1 , i⁵ = i , …

i 의 거듭제곱은 주기 4로 순환한다. iⁿ 을 구하려면 지수 n을 4로 나눈 나머지만 보면 된다.

예제 2-1 i의 큰 거듭제곱

문제. i²⁰²⁶의 값을 구하라.

풀이. i의 거듭제곱은 주기 4로 순환하므로, 지수 2026을 4로 나눈 나머지만 중요하다. 2026 = 4 · 506 + 2이므로 나머지는 2. 따라서 i²⁰²⁶ = i² = −1. ∎

함정 — √(ab) = √a·√b 는 음수에서 깨진다 실수에서 통하던 √a · √b = √(ab)는 음수 밑에서 거짓이 된다. 만약 무심코 적용하면 √(−1)·√(−1) = √((−1)(−1)) = √1 = 1이라는 틀린 결론에 이른다. 하지만 정의상 √(−1)·√(−1) = i·i = −1이다. 음수의 제곱근은 먼저 i로 바꾼 뒤 계산하라.

2.2복소수의 사칙연산

복소수(complex number)는 실수부와 허수부의 합 a + bi 꼴이다. 여기서 a를 실수부(real part), b를 허수부(imaginary part)라 부른다.

덧셈과 뺄셈

실수부끼리, 허수부끼리 따로 더하면 된다 — 마치 i가 하나의 문자인 것처럼. (3 + 2i) + (1 − 5i) = 4 − 3i.

곱셈

분배법칙(FOIL)을 그대로 쓰되, 마지막에 i² = −1로 정리한다. 이것이 유일한 추가 규칙이다.

나눗셈

분모가 복소수이면 켤레를 곱해 분모를 실수로 만든다 — 제1장의 근호 유리화와 똑같은 발상이다.

복소수 곱셈 — Complex Multiplication

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

분배법칙으로 전개한 뒤 i² = −1 을 대입하면 자동으로 나온다. 외울 공식이 아니라 한 번 직접 전개해보면 자명하다.

예제 2-2 복소수 나눗셈

문제. (3 + 2i) / (1 − i)를 a + bi 꼴로 나타내라.

풀이. 분모 1 − i의 켤레는 1 + i. 분자·분모에 함께 곱한다:

(3+2i)(1+i) / [(1−i)(1+i)]

분자: (3+2i)(1+i) = 3 + 3i + 2i + 2i² = 3 + 5i − 2 = 1 + 5i.
분모: (1−i)(1+i) = 1 − i² = 1 + 1 = 2.
따라서 답은 (1 + 5i)/2 = 1/2 + (5/2)i. ∎

직관 — 켤레가 분모를 실수로 만드는 이유 (a+bi)(a−bi) = a² − (bi)² = a² + b². 허수부가 깨끗이 상쇄되고 항상 음이 아닌 실수가 남는다. 이것이 복소수 나눗셈의 열쇠다.

2.3켤레복소수와 절댓값

복소수 z = a + bi의 켤레(conjugate)는 허수부의 부호를 뒤집은 z̄ = a − bi다. 켤레는 복소수 이론 전체를 떠받치는 도구다.

복소수의 절댓값(modulus) |z|는 복소평면에서 원점까지의 거리다. 피타고라스 정리에 따라 |z| = √(a² + b²).

켤레와 절댓값 — Conjugate & Modulus

z = a + bi ⟹ z̄ = a − bi
z · z̄ = a² + b² = |z|²
|z₁ z₂| = |z₁| · |z₂|

z·z̄ 는 항상 음이 아닌 실수이며 |z|² 과 같다. 곱의 절댓값은 절댓값의 곱 — 곱셈이 길이를 곱한다는 사실의 첫 신호다.

예제 2-3 절댓값의 성질 활용

문제. |3 + 4i|와 |(3+4i)(1+i)|를 구하라.

풀이. |3+4i| = √(3²+4²) = √25 = 5. 둘째 식은 직접 곱할 필요 없이 곱의 절댓값 법칙을 쓴다. |1+i| = √(1+1) = √2이므로 |(3+4i)(1+i)| = 5 · √2 = 5√2. 곱셈이 길이를 곱한다는 성질 덕분에 전개를 건너뛰었다. ∎

2.4복소평면 — 곱셈은 회전이다

복소수의 가장 아름다운 사실: 복소수 a + bi를 평면 위의 점 (a, b)로 보면, 복소수 곱셈은 회전과 확대를 동시에 한다.

복소수를 평면의 점으로 그린 것이 복소평면(complex plane)이다. 가로축은 실수부, 세로축은 허수부. 각 복소수는 원점에서의 거리 r = |z|와 양의 실수축으로부터의 각 θ로도 표현된다.

두 복소수를 곱하면 — 거리는 곱해지고, 각도는 더해진다. 특히 i를 곱하는 것은 |i|=1이고 각이 90°이므로, "크기는 그대로, 90° 반시계 회전"이다. i를 네 번 곱하면 360° 회전해 제자리 — 이것이 i⁴ = 1의 기하학적 의미다.

곱셈의 기하 — Multiplication as Rotation

z₁ = r₁ (각 θ₁) , z₂ = r₂ (각 θ₂)
z₁ · z₂ = (r₁ r₂) (각 θ₁ + θ₂)

곱셈은 크기끼리 곱하고 각도끼리 더한다. i 를 곱함 = 90° 회전. 이 한 문장이 복소수 곱셈의 전부다.

모션 · i 를 곱할 때마다 90° 회전한다 01 / 5

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기억할 그림 i를 곱하는 것은 복소평면에서 90° 반시계 회전이다. −1을 곱하면 180° 회전(방향 뒤집기). 곱셈을 "수의 연산"이 아니라 "평면의 변환"으로 보는 순간, 복소수가 친근해진다.

2.5예제 모음 — 경시 문제 맛보기

도전 2-A i의 거듭제곱 합

문제. i + i² + i³ + i⁴ + … + i¹⁰⁰의 값을 구하라.

풀이. 연속한 네 항의 합은 i + i² + i³ + i⁴ = i − 1 − i + 1 = 0이다. 100개의 항은 정확히 25개의 묶음으로 나뉘므로, 전체 합은 25 · 0 = 0. 주기성을 묶음으로 활용하면 100항을 셀 필요가 없다. ∎

도전 2-B 회전으로 푸는 거듭제곱

문제. (1 + i)⁸의 값을 구하라.

풀이. 직접 여덟 번 곱하지 말자. 먼저 (1+i)² = 1 + 2i + i² = 2i임을 관찰한다. 그러면 (1+i)⁸ = [(1+i)²]⁴ = (2i)⁴ = 2⁴ · i⁴ = 16 · 1 = 16.

기하적으로도 보자. 1+i는 크기 √2, 각 45°. 8제곱하면 크기는 (√2)⁸ = 16, 각은 8 × 45° = 360° — 양의 실수축으로 돌아온다. 따라서 16. 두 풀이가 일치한다. ∎

모션 · (1+i)ⁿ — 나선처럼 회전하며 커진다 01 / 5

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이 장의 핵심 복소수는 "상상의 수"가 아니라 평면을 가리키는 화살표다. 덧셈은 화살표를 이어붙이고, 곱셈은 화살표를 회전·확대한다. 그리고 복소수 덕분에 모든 다항식이 근을 갖는다 — 이것이 대수학의 기본정리다.

관련지수 법칙 관련판별식과 허근 관련회전과 좌표