제7장 · 이차방정식 — 문제 해결의 기술

7.1이차방정식이란

이차방정식(quadratic equation)은 미지수의 최고차수가 2인 방정식, ax² + bx + c = 0 꼴이다(a ≠ 0).

일차방정식과 결정적으로 다르다 — 이차방정식은 근을 둘 가질 수 있다. 그래프가 직선이 아니라 포물선(parabola)이기 때문이다. 포물선은 x축을 두 번, 한 번, 또는 한 번도 만나지 않을 수 있다.

이차방정식을 푸는 길은 세 가지다 — 인수분해, 완전제곱, 근의 공식. 모두 같은 답에 이르지만 상황에 따라 효율이 다르다.

이차방정식 표준형 — Standard Form

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

a 는 최고차항 계수(0 불가), b 는 일차항 계수, c 는 상수항. 이 세 수가 근의 모든 운명을 결정한다.

7.2인수분해로 풀기

인수분해의 힘은 영곱셈 성질(zero product property)에서 나온다 — 두 수의 곱이 0이면, 둘 중 적어도 하나는 0이다.

이차식 x² + bx + c를 (x − r)(x − s)로 쪼개면, 방정식은 (x−r)(x−s) = 0이 되고 근은 즉시 x = r 또는 x = s다. 인수분해의 비결: 곱이 c이고 합이 b인 두 수를 찾는 것(비에트의 정리, 제6장).

예제 7-1 합과 곱으로 인수분해

문제. x² − 7x + 12 = 0을 인수분해로 풀어라.

풀이. 곱이 12, 합이 −7인 두 수를 찾는다. 둘 다 음수여야 한다(곱이 양수, 합이 음수). −3과 −4: 곱 12 ✓, 합 −7 ✓. 따라서 (x−3)(x−4) = 0, 근은 x = 3 또는 x = 4. ∎

함정 — 양변을 변수로 나누지 마라 x² = 5x를 풀 때 양변을 x로 나누면 x = 5만 나온다 — 근 x = 0을 잃는다! 변수로 나누면 그 변수가 0인 경우가 사라진다. 대신 x² − 5x = 0 → x(x−5) = 0으로 인수분해하라.

7.3완전제곱과 근의 공식

모든 이차식이 깔끔하게 인수분해되지는 않는다. 그럴 때 완전제곱식 만들기(completing the square)가 통한다 — 어떤 이차식이든 (x + p)² = q 꼴로 바꿀 수 있다.

일반형 ax² + bx + c = 0에 이 작업을 끝까지 적용하면, 모든 이차방정식을 한 번에 푸는 공식이 나온다 — 근의 공식(quadratic formula). 근의 공식은 마법이 아니라 완전제곱의 일반화일 뿐이다.

근의 공식 — The Quadratic Formula

ax² + bx + c = 0 ⟹
x = ( −b ± √(b² − 4ac) ) / (2a)

근호 안 b² − 4ac 가 판별식 D. ± 부호 때문에 일반적으로 근이 둘 생긴다.

예제 7-2 근의 공식 적용

문제. 2x² − 4x − 3 = 0을 근의 공식으로 풀어라.

풀이. a = 2, b = −4, c = −3. 판별식 D = (−4)² − 4·2·(−3) = 16 + 24 = 40. 공식에 대입:

x = (4 ± √40) / 4 = (4 ± 2√10) / 4 = (2 ± √10) / 2

두 근은 (2 + √10)/2와 (2 − √10)/2. 인수분해가 안 되는 경우도 공식은 반드시 답을 준다. ∎

모션 · 완전제곱 — 넓이로 보는 x²+bx 01 / 5

→ ← 스페이스 R

7.4판별식 — 근의 정체를 미리 본다

근의 공식의 근호 안 b² − 4ac를 판별식(discriminant) D라 한다. 근을 구하지 않고도, D의 부호만으로 근의 성격을 판별할 수 있다.

이유는 단순하다. 근의 차이는 √D에서 온다. D가 양수면 √D는 실수 → 서로 다른 두 실근. D가 0이면 √D는 0 → ±가 의미 없어 중근(하나). D가 음수면 √D는 허수 → 서로 켤레인 두 허근.

판별식 D = b² − 4ac 와 근의 성격
판별식	근의 성격	포물선과 x축
D > 0	서로 다른 두 실근	두 점에서 만남
D = 0	중근 (실근 하나, 두 번 겹침)	접함 (한 점)
D < 0	서로 켤레인 두 허근	만나지 않음

예제 7-3 판별식으로 조건 찾기

문제. x² + kx + 9 = 0이 중근을 가지려면 k는?

풀이. 중근의 조건은 D = 0. D = k² − 4·1·9 = k² − 36 = 0이므로 k² = 36, 즉 k = 6 또는 k = −6. 두 값 모두 답이다. ∎

판별식의 힘 "실근이 존재하는가?", "중근인가?", "근이 몇 개인가?" — 이 모든 질문은 근을 풀지 않고 판별식의 부호만으로 답할 수 있다. 경시 문제에서 가장 자주 쓰이는 도구다.

7.5포물선과 그래프

이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프는 포물선이다. a > 0이면 아래로 볼록(∪), a < 0이면 위로 볼록(∩).

포물선의 가장 낮은(또는 높은) 점이 꼭짓점(vertex)이다. 완전제곱식 y = a(x − h)² + k로 바꾸면 꼭짓점이 (h, k)임이 한눈에 보인다. 꼭짓점의 x좌표는 항상 x = −b/(2a) — 두 근의 한가운데다.

포물선의 꼭짓점 — Vertex Form

y = a(x − h)² + k , 꼭짓점 (h, k)
h = −b / (2a)

꼭짓점은 포물선의 대칭축 위에 있다. 최댓값·최솟값 문제는 모두 꼭짓점을 찾는 일로 귀결된다.

모션 · 판별식이 포물선의 운명을 가른다 01 / 4

→ ← 스페이스 R

7.6예제 모음 — 경시 문제 맛보기

도전 7-A 최댓값 문제

문제. 둘레가 40인 직사각형 중 넓이가 최대인 것의 넓이는?

풀이. 가로를 x라 하면 세로는 20 − x(둘레 조건). 넓이 A = x(20 − x) = −x² + 20x. 이것은 위로 볼록한 포물선이며, 꼭짓점에서 최대다. 꼭짓점의 x좌표는 x = −20/(2·(−1)) = 10. 그때 넓이 A = 10 · 10 = 100. 둘레가 정해진 직사각형은 정사각형일 때 넓이가 최대다. ∎

도전 7-B 치환으로 푸는 사차식

문제. x⁴ − 5x² + 4 = 0을 풀어라.

풀이. 4차식이지만 홀수 차수 항이 없다 — 복이차식이다. t = x²으로 치환하면 t² − 5t + 4 = 0, 즉 (t−1)(t−4) = 0. 따라서 t = 1 또는 t = 4. 다시 x로 돌아가면 x² = 1 → x = ±1, x² = 4 → x = ±2. 네 근: ±1, ±2. ∎

이 장의 핵심 이차방정식의 세 가지 풀이법(인수분해·완전제곱·근의 공식)은 같은 답에 이르는 세 길이다. 판별식 D = b²−4ac는 근을 풀지 않고도 그 정체를 알려주는 점쟁이다. 그래프로 보면 이차식은 포물선이고, 최댓값·최솟값 문제는 꼭짓점 찾기로 환원된다.

관련비에트의 정리 관련허근과 복소수 관련이차부등식