제6장 · 다항식 — 문제 해결의 기술

6.1다항식이란

다항식(polynomial)은 변수의 음이 아닌 정수 거듭제곱에 계수를 곱한 항들의 합이다. 3x⁴ − 2x² + x − 7 같은 것. 1/x나 √x 같은 항은 허용되지 않는다.

가장 높은 거듭제곱의 지수를 다항식의 차수(degree)라 하고, 그 항의 계수를 최고차항 계수(leading coefficient)라 한다. 3x⁴ − 2x² + x − 7은 4차 다항식이며 최고차항 계수는 3이다.

다항식에 어떤 수 a를 대입한 값이 0이면, a를 그 다항식의 근(root) 또는 영점(zero)이라 한다. 다항식 이론의 거의 모든 것은 "근을 찾는 일"로 모인다.

다항식의 일반형 — General Polynomial

P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀

aₙ ≠ 0 이면 차수는 n. n차 다항식은 (중복을 세면) 복소수 범위에서 정확히 n개의 근을 가진다 — 대수학의 기본정리.

차수의 산술 두 다항식을 곱하면 차수는 더해진다. deg(P·Q) = deg P + deg Q. 더하면 차수는 둘 중 큰 쪽 이하가 된다. 이 단순한 규칙이 많은 추론의 출발점이다.

6.2다항식의 곱셈

다항식을 곱하는 원리는 단 하나, 분배법칙이다. 한 다항식의 모든 항을 다른 다항식의 모든 항과 빠짐없이 곱한 뒤, 같은 차수끼리 모은다.

두 개의 이항식을 곱할 때는 흔히 FOIL(First, Outer, Inner, Last)이라는 이름으로 부르지만, 이것은 분배법칙의 한 경우에 불과하다. 항이 많아지면 표를 그려 빠짐없이 곱하는 것이 안전하다.

예제 6-1 곱한 결과의 한 계수 찾기

문제. (x² + 2x + 3)(x² − x + 4)를 전개했을 때 x²의 계수는?

풀이. 전체를 전개할 필요 없다 — x²이 되는 조합만 찾는다. 두 항의 차수의 합이 2가 되어야 하므로 세 가지 조합: x²·(상수), x·x, (상수)·x².

(x²)(4) = 4x², (2x)(−x) = −2x², (3)(x²) = 3x². 계수를 모으면 4 − 2 + 3 = 5. 답은 5. 필요한 항만 골라내는 것이 효율적이다. ∎

6.3다항식의 나눗셈

정수에서 17 = 5·3 + 2처럼 몫과 나머지를 얻듯, 다항식도 나눗셈 정리를 따른다. 다항식 P(x)를 D(x)로 나누면 몫 Q(x)와 나머지 R(x)가 유일하게 정해진다.

다항식 나눗셈 정리 — Division Algorithm

P(x) = D(x) · Q(x) + R(x)

나머지 R(x) 의 차수는 나누는 식 D(x) 의 차수보다 작다. 일차식으로 나누면 나머지는 상수다.

예제 6-2 긴 나눗셈

문제. x³ − 2x² + 3x − 1을 x − 1로 나눈 몫과 나머지를 구하라.

풀이. 정수의 긴 나눗셈처럼, 최고차항부터 차례로 지운다. x³ ÷ x = x² → x²(x−1) = x³−x²를 빼면 −x² + 3x − 1. 다음 −x² ÷ x = −x → 빼면 2x − 1. 다음 2x ÷ x = 2 → 빼면 1.

몫은 x² − x + 2, 나머지는 1. 즉 x³−2x²+3x−1 = (x−1)(x²−x+2) + 1. ∎

모션 · 다항식 긴 나눗셈 한 단계씩 01 / 5

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6.4나머지정리와 인수정리

긴 나눗셈을 하지 않고도 "x − a로 나눈 나머지"를 알 수 있다. 그것이 나머지정리(Remainder Theorem)다 — 나머지는 그냥 P(a)다.

왜 그럴까? P(x) = (x−a)Q(x) + R에 x = a를 대입하면 (x−a) 부분이 0이 되어 P(a) = R만 남는다.

특별한 경우: 나머지가 0이면, 즉 P(a) = 0이면 x − a는 P(x)의 인수다. 이것이 인수정리(Factor Theorem)다. 근을 하나 찾으면 인수를 하나 떼어낼 수 있다.

나머지정리 · 인수정리 — Remainder & Factor Theorem

P(x) 를 (x − a) 로 나눈 나머지 = P(a)
P(a) = 0 ⟺ (x − a) 는 P(x) 의 인수

a 가 근이면 인수 (x−a) 를 떼어낼 수 있다. 근 하나를 알면 차수가 하나 낮은 다항식이 남는다.

예제 6-3 인수정리로 인수분해

문제. P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6을 인수분해하라.

풀이. 정수근이 있다면 상수항 −6의 약수(±1, ±2, ±3, ±6) 중에 있다. P(1) = 1 − 6 + 11 − 6 = 0 — x = 1이 근이다! 인수정리로 (x−1)을 인수로 뗀다. 나눗셈하면 P(x) = (x−1)(x² − 5x + 6). 남은 이차식은 (x−2)(x−3)으로 인수분해된다. 따라서 P(x) = (x−1)(x−2)(x−3), 근은 1, 2, 3. ∎

유리근 정리 — 근을 어디서 찾을까 정수 계수 다항식의 정수근은 반드시 상수항의 약수 중에 있다. 유리근 p/q는 p가 상수항의 약수, q가 최고차항 계수의 약수다. 후보를 좁혀준다.

6.5근과 계수의 관계 — 비에트의 정리

다항식을 인수분해된 형태로 펼치면, 계수가 근들의 합과 곱으로 표현된다는 놀라운 관계가 드러난다. 이것이 비에트의 정리(Vieta's formulas)다.

이차식 x² + bx + c = (x−r)(x−s)를 전개하면 x² − (r+s)x + rs. 따라서 근의 합 = −b, 근의 곱 = c. 근을 풀지 않고도 그 합과 곱을 알 수 있다.

비에트의 정리 (이차) — Vieta's Formulas

ax² + bx + c = 0 의 두 근 r, s 에 대해
r + s = −b / a , r · s = c / a

삼차 ax³+bx²+cx+d 의 세 근은 합 = −b/a, 곱 = −d/a. 근과 계수는 거울처럼 연결된다.

예제 6-4 근을 풀지 않고 답 구하기

문제. x² − 7x + 10 = 0의 두 근을 r, s라 할 때 r² + s²의 값은?

풀이. 비에트의 정리로 r + s = 7, rs = 10. 그런데 (r+s)² = r² + 2rs + s²이므로 r² + s² = (r+s)² − 2rs = 49 − 20 = 29. 근(2와 5)을 직접 구하지 않고도 답이 나왔다 — 대칭식은 합과 곱으로 표현된다. ∎

6.6예제 모음 — 경시 문제 맛보기

도전 6-A 나머지정리의 응용

문제. 다항식 P(x)를 x − 2로 나누면 나머지가 5, x − 3으로 나누면 나머지가 7이다. P(x)를 (x−2)(x−3)으로 나눈 나머지는?

풀이. 이차식으로 나눈 나머지는 일차 이하 — R(x) = ax + b로 둔다. 나머지정리에 따라 P(2) = 5, P(3) = 7이고, P(x) = (x−2)(x−3)Q(x) + ax + b에 대입하면 2a + b = 5, 3a + b = 7. 빼면 a = 2, b = 1. 나머지는 2x + 1. ∎

도전 6-B 삼차식의 비에트

문제. x³ − 6x² + 11x − 6 = 0의 세 근의 제곱의 합 r² + s² + t²을 구하라.

풀이. 비에트의 정리: r+s+t = 6, rs+st+tr = 11, rst = 6. 항등식 (r+s+t)² = r²+s²+t² + 2(rs+st+tr)을 쓰면 36 = (r²+s²+t²) + 2·11, 따라서 r²+s²+t² = 36 − 22 = 14. ∎

모션 · 인수정리 — 근을 찾으면 인수가 떨어진다 01 / 4

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이 장의 핵심 다항식 이론은 근을 중심으로 돈다. 나머지정리는 P(a)가 곧 나머지임을 알려주고, 인수정리는 근에서 인수를 떼어내게 한다. 비에트의 정리는 근을 풀지 않고도 그 합·곱을 계수에서 읽어낸다 — 대칭식 문제의 만능 열쇠다.

관련이차방정식의 근 관련특수 인수분해 관련대수학의 기본정리