8.1왜 항등식을 알아봐야 하는가
항등식(identity)은 변수에 어떤 값을 넣어도 항상 참인 등식이다. 방정식이 "특정 값에서만 참"인 것과 다르다.
몇 개의 핵심 항등식을 패턴으로 익혀 두면, 복잡한 식 속에서 그 모양을 즉시 알아볼 수 있다. 그러면 길고 지루한 전개나 계산을 건너뛰고 곧장 답으로 갈 수 있다. 항등식은 지름길의 지도다.
중요한 것은 외우는 것이 아니라 알아보는 것이다. 식을 볼 때마다 "이게 어떤 항등식의 한 조각은 아닐까?"를 묻는 습관 — 그것이 진짜 기술이다.
8.2제곱의 차와 완전제곱
가장 자주 쓰이는 세 항등식이다. 모두 분배법칙으로 전개해보면 즉시 확인된다.
완전제곱(합): (a + b)² = a² + 2ab + b²
완전제곱(차): (a − b)² = a² − 2ab + b²
문제. 103 × 97을 암산으로 구하라.
풀이. 두 수가 100을 중심으로 대칭이다 — 103 = 100 + 3, 97 = 100 − 3. 제곱의 차 항등식에 정확히 들어맞는다: (100+3)(100−3) = 100² − 3² = 10000 − 9 = 9991. 곱셈을 뺄셈으로 바꿔버렸다. ∎
8.3세제곱 공식
제곱을 넘어 세제곱으로 가면 또 다른 유용한 항등식들이 나타난다. 특히 세제곱의 합·차는 이차식으로 만들어지지 않는다고 흔히 오해받지만, 사실 깔끔하게 인수분해된다.
세제곱의 차: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
문제. x³ + 8을 인수분해하라.
풀이. 8 = 2³이므로 이것은 세제곱의 합 x³ + 2³이다. 공식 a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²)에 a = x, b = 2를 넣으면 x³ + 8 = (x + 2)(x² − 2x + 4). ∎
8.4SOS 항등식 — 대칭의 결정체
세 변수의 세제곱의 합에 관한 항등식 하나는 경시수학에서 거듭 등장한다. SOS 항등식(Schur 계열로도 불림)이라 부르자.
= (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)
문제. a + b + c = 0일 때 a³ + b³ + c³을 abc로 나타내라.
풀이. SOS 항등식 a³+b³+c³−3abc = (a+b+c)(…)에서, 조건 a+b+c = 0이므로 우변 전체가 0이다. 따라서 a³+b³+c³−3abc = 0, 즉 a³+b³+c³ = 3abc. 세 수의 합이 0이라는 한 가지 사실만으로 세제곱의 합이 즉시 결정된다. ∎
8.5영리한 변형 — 보이지 않는 것을 더하기
가장 우아한 기법 하나: 0을 더하기. 어떤 항을 더했다가 똑같이 빼면 값은 그대로지만, 식의 모양이 항등식 패턴에 맞아떨어진다.
대표적인 예가 소피 제르맹 항등식(Sophie Germain identity)이다. a⁴ + 4b⁴은 인수분해가 불가능해 보이지만, 4a²b²을 더했다 빼면 완전제곱과 제곱의 차가 차례로 나타난다.
= (a² + 2b² + 2ab)(a² + 2b² − 2ab)
문제. x⁴ + 4를 인수분해하라.
풀이. b = 1인 소피 제르맹 항등식이다. 직접 유도해보자. x⁴ + 4에 +4x² − 4x²(=0)을 더한다:
x⁴ + 4x² + 4 − 4x² = (x² + 2)² − (2x)²
이제 제곱의 차다: (x² + 2 + 2x)(x² + 2 − 2x). 즉 x⁴ + 4 = (x²+2x+2)(x²−2x+2). "안 되는" 인수분해가 0을 더하는 한 수로 풀렸다. ∎
8.6예제 모음 — 경시 문제 맛보기
문제. (1 − 1/4)(1 − 1/9)(1 − 1/16)···(1 − 1/100)의 값을 구하라.
풀이. 각 인수를 제곱의 차로 본다. 1 − 1/n² = (n²−1)/n² = (n−1)(n+1)/n². n이 2부터 10까지 곱해진다:
∏ (n−1)(n+1)/(n·n)
분자의 (n−1)들과 (n+1)들, 분모의 n들이 도미노처럼 약분된다(망원경 곱). 살아남는 것은 처음의 1/2과 끝의 11/10: 답은 (1/2)(11/10) = 11/20. ∎
문제. x + 1/x = 5일 때 x² + 1/x²의 값은?
풀이. 주어진 식의 양변을 제곱한다. (x + 1/x)² = x² + 2·x·(1/x) + 1/x² = x² + 2 + 1/x². 따라서 5² = x² + 2 + 1/x², 즉 x² + 1/x² = 25 − 2 = 23. 완전제곱 항등식이 가운데 항(2)을 깔끔하게 만들어준 덕분이다. ∎