제9장 · 부등식 — 문제 해결의 기술

9.1부등식의 규칙

부등식(inequality)은 두 양의 대소 관계를 나타낸다 — <, >, ≤, ≥. 부등식의 풀이는 방정식과 거의 같지만, 딱 하나 결정적으로 다른 규칙이 있다.

덧셈·뺄셈은 부등호 방향을 바꾸지 않는다. 양수를 곱하거나 나눠도 그대로다. 그러나 — 음수를 곱하거나 나누면 부등호가 뒤집힌다.

왜? 3 < 5는 참이다. 양변에 −1을 곱하면 −3과 −5 — 이제 −3 > −5다. 수직선 위에서 음수배는 점들을 원점 반대편으로 뒤집기 때문이다.

부등식의 핵심 규칙 — The Crucial Rule

a < b , c > 0 ⟹ ac < bc (방향 유지)
a < b , c < 0 ⟹ ac > bc (방향 뒤집힘!)

음수를 곱하거나 나누면 부등호가 뒤집힌다. 이 한 가지만 잊지 않으면 부등식 풀이는 방정식과 똑같다.

함정 — 변수로 나누지 마라 부등식에서 변수가 든 식으로 나누는 것은 매우 위험하다. 그 식의 부호를 모르기 때문에 부등호 방향을 정할 수 없다. 대신 모두 한쪽으로 모은 뒤 인수분해하라.

9.2일차부등식

일차부등식은 일차방정식과 똑같이 푼다 — 음수배에서 부등호를 뒤집는 것만 주의하면 된다. 해는 점 하나가 아니라 수직선 위의 반직선(구간)이다.

예제 9-1 음수배에서 부등호 뒤집기

문제. −3x + 7 < 1을 풀어라.

풀이. 양변에서 7을 빼면 −3x < −6. 이제 양변을 −3으로 나눈다 — 음수로 나누므로 부등호가 뒤집힌다: x > 2. 해는 2보다 큰 모든 실수. 검산: x = 3이면 −9 + 7 = −2 < 1 ✓. ∎

모션 · 부등식의 해 — 수직선 위의 구간 01 / 5

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9.3이차부등식

이차부등식 ax² + bx + c > 0은 일차부등식과 다르게 접근한다. 핵심 발상: 먼저 인수분해하고, 부호가 바뀌는 경계점(근)을 찾는다.

인수분해된 형태 (x − r)(x − s)의 부호는 두 근 r, s를 경계로 바뀐다. 수직선을 세 구간으로 나누고, 각 구간에서 곱의 부호를 따진다. 포물선으로 보면 더 직관적이다 — 포물선이 x축 위에 있으면 양수, 아래면 음수.

예제 9-2 부호 구간 나누기

문제. x² − x − 6 > 0을 풀어라.

풀이. 인수분해하면 (x − 3)(x + 2) > 0. 경계점은 x = 3과 x = −2. 수직선이 세 구간으로 나뉜다.

x < −2: 두 인수 모두 음 → 곱은 양 ✓
−2 < x < 3: 한 음 한 양 → 곱은 음 ✗
x > 3: 두 인수 모두 양 → 곱은 양 ✓

곱이 양수인 구간은 x < −2 또는 x > 3. 포물선이 위로 볼록이므로 "바깥쪽이 양"이라는 그림과도 일치한다. ∎

기억할 그림 — 포물선의 안과 밖 위로 볼록한 포물선(a > 0)에서, > 0 부분은 두 근 바깥쪽, < 0 부분은 두 근 사이다. 부호표를 외우기보다 포물선 그림 하나를 그려라.

9.4절댓값 부등식

절댓값(absolute value) |x|는 수직선에서 원점까지의 거리다. 거리는 음수가 될 수 없으므로 절댓값은 항상 0 이상이다.

절댓값 부등식은 "거리"의 언어로 번역하면 명확해진다. |x| < a는 "원점에서 거리 a 이내" — 곧 −a < x < a. |x| > a는 "거리 a 바깥" — 곧 x < −a 또는 x > a.

절댓값 부등식 — Absolute Value Inequalities

|x| < a ⟺ −a < x < a (안쪽 구간)
|x| > a ⟺ x < −a 또는 x > a (바깥 구간)

a > 0 일 때. "< 는 사이, > 는 바깥" — 거리로 생각하면 자명하다.

예제 9-3 절댓값을 거리로 읽기

문제. |2x − 1| ≤ 5를 풀어라.

풀이. "안쪽 구간" 규칙을 쓴다: −5 ≤ 2x − 1 ≤ 5. 가운데 항 2x − 1만 남기도록 세 변에 똑같은 조작을 한다. 각 변에 1을 더하면 −4 ≤ 2x ≤ 6, 각 변을 2로 나누면 −2 ≤ x ≤ 3. 해는 닫힌구간 [−2, 3]. ∎

9.5AM-GM 부등식 — 단순하지만 강력한

경시수학에서 가장 자주 쓰이는 부등식 하나 — 산술-기하 평균 부등식(AM-GM inequality). "산술평균은 항상 기하평균 이상이다."

두 양수 a, b에 대해 산술평균은 (a+b)/2, 기하평균은 √(ab)다. AM-GM은 전자가 후자 이상임을 말한다. 증명은 놀랍도록 간단하다 — (√a − √b)² ≥ 0이라는 자명한 사실에서 곧장 나온다.

AM-GM 부등식 — Arithmetic Mean ≥ Geometric Mean

(a + b) / 2 ≥ √(ab) (a, b ≥ 0)
등호는 a = b 일 때만 성립

증명: (√a − √b)² ≥ 0 ⟹ a − 2√(ab) + b ≥ 0 ⟹ a + b ≥ 2√(ab). 두 수가 같을 때 양변이 일치한다.

예제 9-4 AM-GM으로 최솟값 찾기

문제. x > 0일 때 x + 9/x의 최솟값을 구하라.

풀이. 두 양수 x와 9/x에 AM-GM을 적용한다. 핵심은 — 두 수의 곱이 상수라는 점이다: x · (9/x) = 9. AM-GM에 따라 x + 9/x ≥ 2√(x · 9/x) = 2√9 = 6. 등호는 x = 9/x, 즉 x = 3일 때. 최솟값은 6. ∎

AM-GM 활용의 비결 AM-GM은 곱이 일정한 두 양수의 합의 최솟값(또는 합이 일정할 때 곱의 최댓값)을 찾을 때 빛난다. "곱이 상수가 되도록 항을 묶을 수 있는가?"를 물어라.

모션 · AM-GM — 같을 때 평균이 만난다 01 / 4

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9.6예제 모음 — 경시 문제 맛보기

도전 9-A 제곱은 음수가 아니다

문제. 모든 실수 x, y에 대해 x² + y² ≥ 2xy임을 보여라.

풀이. 가장 기본적인 부등식 도구 — "실수의 제곱은 음수가 아니다". (x − y)² ≥ 0은 자명하다. 전개하면 x² − 2xy + y² ≥ 0, 즉 x² + y² ≥ 2xy. 등호는 x = y일 때. 이 한 줄이 AM-GM의 출발점이기도 하다. ∎

도전 9-B 세 변수 AM-GM

문제. a, b, c > 0이고 abc = 8일 때 a + b + c의 최솟값은?

풀이. 세 양수에 대한 AM-GM (a+b+c)/3 ≥ ³√(abc)를 쓴다. abc = 8이므로 ³√(abc) = ³√8 = 2. 따라서 a + b + c ≥ 3 · 2 = 6. 등호는 a = b = c = 2일 때(곱이 8). 최솟값은 6. ∎

이 장의 핵심 부등식 풀이는 방정식과 거의 같다 — 음수배에서 부등호가 뒤집힌다는 한 규칙만 빼면. 이차부등식은 부호 구간으로, 절댓값 부등식은 거리로 생각하라. 그리고 AM-GM과 "제곱 ≥ 0"은 최댓값·최솟값 문제를 푸는 가장 든든한 두 무기다.

관련이차식과 포물선 관련완전제곱 항등식 관련평균과 수열