11.1수열이란
수열(sequence)은 일정한 규칙에 따라 줄지어 늘어선 수들이다. 2, 5, 8, 11, …처럼. n번째 수를 제n항이라 하고 aₙ으로 쓴다.
수열은 사실 함수다 — 정의역이 자연수인 함수. a₁, a₂, a₃, …은 입력 1, 2, 3에 대한 출력일 뿐이다.
이어지는 항들의 합을 급수(series)라 한다. 수열이 수들의 목록이라면, 급수는 그 목록을 더한 것이다.
11.2등차수열과 등차급수
등차수열(arithmetic sequence)은 이웃한 두 항의 차가 일정한 수열이다. 그 일정한 차를 공차(common difference) d라 한다. 2, 5, 8, 11, …은 공차 3의 등차수열.
첫째 항 a₁에서 출발해 d씩 더해가므로, 제n항은 d를 (n−1)번 더한 것이다.
합: Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2
문제. 1 + 2 + 3 + … + 100을 구하라.
풀이. 어린 가우스의 전설적인 발상 — 줄을 거꾸로 한 줄 더 쓰고 짝짓는다. 정순 1, 2, …, 100과 역순 100, 99, …, 1을 위아래로 놓으면, 각 세로 짝의 합이 모두 101이다. 짝이 100개이므로 두 줄의 합은 100 × 101 = 10100, 한 줄은 그 절반 5050. 공식 Sₙ = n(a₁+aₙ)/2 = 100·101/2와 정확히 일치한다. ∎
11.3등비수열과 등비급수
등비수열(geometric sequence)은 이웃한 두 항의 비가 일정한 수열이다. 그 비를 공비(common ratio) r라 한다. 3, 6, 12, 24, …는 공비 2의 등비수열.
첫째 항에 r을 계속 곱하므로 제n항은 a₁ · rⁿ⁻¹. 합의 공식은 영리한 소거에서 나온다 — Sₙ과 rSₙ을 빼면 가운데 항들이 망원경처럼 사라진다.
합: Sₙ = a₁ (1 − rⁿ) / (1 − r) (r ≠ 1)
문제. 2 + 6 + 18 + 54 + 162를 구하라.
풀이. 첫째 항 a₁ = 2, 공비 r = 3, 항의 개수 n = 5. 공식에 대입: S₅ = 2(1 − 3⁵)/(1 − 3) = 2(1 − 243)/(−2) = 2·(−242)/(−2) = 242. 직접 더해도 2+6+18+54+162 = 242 ✓. ∎
11.4무한급수 — 끝없는 합이 유한할 때
무한히 많은 수를 더하는데 합이 유한한 값에 머문다? 공비의 절댓값이 1보다 작은 등비급수에서는 정확히 그런 일이 일어난다.
|r| < 1이면 rⁿ이 항이 늘수록 0에 가까워진다. 등비급수 합 공식에서 rⁿ 항이 사라지면 — 무한합이 깔끔한 식이 된다.
(단, |r| < 1)
문제. 순환소수 0.333… = 0.3̇을 분수로 나타내라.
풀이. 순환소수는 사실 무한등비급수다. 0.333… = 0.3 + 0.03 + 0.003 + …. 첫째 항 a₁ = 0.3 = 3/10, 공비 r = 0.1 = 1/10(|r|<1 ✓). 공식에 넣으면 S = (3/10)/(1 − 1/10) = (3/10)/(9/10) = 3/9 = 1/3. 순환소수가 무한급수로 풀린다. ∎
11.5시그마 표기
긴 합을 짧게 쓰기 위해 그리스 문자 Σ(시그마)를 쓴다. Σ 아래의 시작값에서 위의 끝값까지, 변수를 1씩 늘리며 식을 더하라는 뜻이다.
Σ (k = 1 → n) k² = n(n+1)(2n+1) / 6
문제. 1² + 2² + 3² + … + 10²을 구하라.
풀이. 제곱의 합 공식 Σk² = n(n+1)(2n+1)/6에 n = 10을 넣는다: 10·11·21/6 = 2310/6 = 385. 100개, 1000개여도 공식 하나로 끝난다. ∎
11.6예제 모음 — 경시 문제 맛보기
문제. 1/(1·2) + 1/(2·3) + 1/(3·4) + … + 1/(99·100)을 구하라.
풀이. 핵심 기법 — 부분분수 분해. 1/(k(k+1)) = 1/k − 1/(k+1)임을 관찰한다. 그러면 합은
(1/1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + … + (1/99 − 1/100)
인접한 항들이 도미노처럼 상쇄된다(망원경 급수). 살아남는 것은 맨 처음 1/1과 맨 끝 −1/100. 답은 1 − 1/100 = 99/100. ∎
문제. 세 수가 등차수열을 이루고 합이 15다. 각 수에 1, 4, 19를 더하면 등비수열이 된다. 원래 세 수는?
풀이. 등차수열을 a−d, a, a+d로 두면 — 대칭으로 두는 것이 비결이다 — 합이 3a = 15, 즉 a = 5. 세 수는 5−d, 5, 5+d.
여기에 1, 4, 19를 더하면 6−d, 9, 24+d. 등비수열의 조건 — 가운데 항의 제곱 = 양 끝의 곱: 9² = (6−d)(24+d). 전개하면 81 = 144 − 18d − d², 정리하면 d² + 18d − 63 = 0, (d+21)(d−3) = 0. d = 3 또는 d = −21. d = 3이면 세 수는 2, 5, 8. ∎