10.1함수라는 기계
함수(function)는 기계라고 생각하면 가장 명확하다. 입력 하나를 넣으면, 정해진 규칙에 따라 출력 하나가 나온다.
핵심 규칙: 한 입력에는 정확히 하나의 출력이 대응되어야 한다. 같은 입력에 두 출력이 나오면 그것은 함수가 아니다. 같은 동전을 넣었는데 어떤 날은 사탕이, 어떤 날은 껌이 나오는 자판기는 "함수"가 아니다.
함수 f가 입력 x를 출력 y로 보낼 때 y = f(x)라 쓴다. f(3)은 "3을 기계에 넣은 결과"를 뜻한다.
문제. f(x) = x² − 3x + 2일 때 f(4)와 f(a + 1)을 구하라.
풀이. f(4)는 x 자리에 4를 넣는다: 16 − 12 + 2 = 6. f(a+1)은 x 자리에 통째로 a+1을 넣는다: (a+1)² − 3(a+1) + 2 = a² + 2a + 1 − 3a − 3 + 2 = a² − a. "x"는 자리표시일 뿐 — 무엇을 넣든 그 자리에 그대로 대입한다. ∎
10.2정의역과 치역
함수 기계가 받아들일 수 있는 모든 입력의 집합을 정의역(domain), 나올 수 있는 모든 출력의 집합을 치역(range)이라 한다.
정의역에 제한이 생기는 두 가지 주된 이유: 0으로 나눌 수 없고, 음수의 (짝수) 제곱근을 취할 수 없다. 함수식을 보면서 "어떤 입력이 금지되는가?"를 물으면 정의역이 나온다.
문제. f(x) = √(x − 2) / (x − 5)의 정의역을 구하라.
풀이. 두 가지 제한을 동시에 만족해야 한다. ① 근호 안은 음수가 될 수 없다: x − 2 ≥ 0, 즉 x ≥ 2. ② 분모는 0이 될 수 없다: x − 5 ≠ 0, 즉 x ≠ 5. 둘을 합치면 정의역은 x ≥ 2이면서 x ≠ 5 — 구간으로는 [2, 5) ∪ (5, ∞). ∎
10.3합성함수와 역함수
두 기계를 일렬로 연결하면 어떻게 될까? 한 기계의 출력을 다음 기계의 입력으로 넣는 것 — 그것이 합성함수(composition)다.
(f ∘ g)(x) = f(g(x))는 "먼저 g, 그다음 f"를 뜻한다. 안쪽부터 바깥쪽으로 읽는다 — 순서가 중요하다.
역함수
역함수(inverse function) f⁻¹는 기계를 거꾸로 돌리는 것이다. f가 x를 y로 보냈다면, f⁻¹는 y를 다시 x로 되돌린다. 따라서 f(f⁻¹(x)) = x. 역함수를 구하려면 y = f(x)에서 x와 y를 바꾼 뒤 y에 대해 풀면 된다.
f( f⁻¹(x) ) = f⁻¹( f(x) ) = x
문제. f(x) = 2x + 1, g(x) = x²일 때 (f ∘ g)(3)과 f⁻¹(x)를 구하라.
풀이. 합성: 안쪽 g부터. g(3) = 9, 그다음 f(9) = 2·9 + 1 = 19. 따라서 (f∘g)(3) = 19.
역함수: y = 2x + 1에서 x에 대해 푼다. y − 1 = 2x, x = (y−1)/2. 변수 이름을 x로 바꾸면 f⁻¹(x) = (x − 1)/2. 검산: f(f⁻¹(x)) = 2·(x−1)/2 + 1 = x ✓. ∎
10.4우함수와 기함수
어떤 함수는 특별한 대칭성을 갖는다. 우함수(even function)는 f(−x) = f(x)를 만족 — 그래프가 y축에 대해 대칭이다. 기함수(odd function)는 f(−x) = −f(x) — 그래프가 원점에 대해 대칭이다.
이름의 유래: xⁿ은 n이 짝수면 우함수, 홀수면 기함수다. x²(우), x³(기). 대부분의 함수는 우함수도 기함수도 아니다.
문제. f(x) = x³ − 4x는 우함수인가 기함수인가?
풀이. f(−x)를 계산한다: (−x)³ − 4(−x) = −x³ + 4x = −(x³ − 4x) = −f(x). f(−x) = −f(x)이므로 기함수다. 그래프는 원점 대칭. ∎
10.5그래프 변환
함수식을 약간 바꾸면 그래프가 예측 가능하게 움직인다. 이 변환(transformation) 규칙들을 알면, 새 그래프를 일일이 점 찍어 그릴 필요가 없다.
| 식의 변화 | 그래프의 변화 |
|---|---|
| f(x) + k | 위로 k 만큼 평행이동 |
| f(x − h) | 오른쪽으로 h 만큼 평행이동 |
| −f(x) | x축에 대해 대칭 (위아래 뒤집기) |
| f(−x) | y축에 대해 대칭 (좌우 뒤집기) |
| a · f(x), a>1 | 세로로 a배 확대 |
10.6예제 모음 — 경시 문제 맛보기
문제. 모든 실수 x에 대해 f(x) + 2f(1 − x) = x²이 성립한다. f(3)을 구하라.
풀이. 함수방정식의 핵심 기법 — 적절한 값을 대입해 식을 두 개 만든다. x = 3: f(3) + 2f(−2) = 9 …①. x = −2: f(−2) + 2f(3) = 4 …②.
이제 f(3)과 f(−2)를 미지수로 한 연립방정식이다. ②에 2를 곱하면 2f(−2) + 4f(3) = 8. 여기서 ①을 빼면 3f(3) = −1, 즉 f(3) = −1/3. ∎
문제. f(x) = 1/(1 − x)일 때 f(f(f(x)))를 구하라.
풀이. 한 번씩 차근차근. f(f(x)) = f(1/(1−x)). f에 그대로 대입: 1 / (1 − 1/(1−x)). 분모를 정리하면 1 − 1/(1−x) = (1−x−1)/(1−x) = −x/(1−x), 따라서 f(f(x)) = (1−x)/(−x) = (x−1)/x.
한 번 더: f(f(f(x))) = f((x−1)/x) = 1/(1 − (x−1)/x) = 1/(1/x) = x. 놀랍게도 세 번 합성하면 원래 x로 돌아온다 — f는 주기 3의 함수다. ∎