1.1정수 지수
곱셈은 단지 반복된 덧셈을 짧게 쓴 것이다. 2+2+2+2+2 대신 5·2라고 쓴다. 마찬가지로 지수는 반복된 곱셈을 짧게 쓴 것이다.
2를 다섯 번 곱한 2·2·2·2·2 대신 우리는 2⁵이라고 쓴다. 식 2⁵에서 2를 밑(base), 5를 지수(exponent) 또는 거듭제곱(power)이라 부른다. 이를 "2의 5제곱"이라 읽는다. 2제곱한 수는 제곱(squared), 3제곱한 수는 세제곱(cubed)이라 부르는데, 정사각형(square)의 넓이와 정육면체(cube)의 부피를 배우면 이 이름의 출처를 알게 된다.
지수 법칙은 어디서 오는가
핵심 질문: 2⁵ · 2⁶은 무엇인가? 첫 항은 2를 다섯 번, 둘째 항은 여섯 번 곱한 것이다. 합치면 2를 열한 번 곱한 것 — 즉 2¹¹이다. 같은 밑끼리 곱하면 지수를 더한다. 이것은 곱셈이 덧셈을 줄인 방식과 정확히 닮았다.
나눗셈도 마찬가지다. 3¹⁵ / 3¹²에서 아래의 3 열두 개가 위의 3 열다섯 개 중 열두 개와 약분되어 3³이 남는다. 같은 밑끼리 나누면 지수를 뺀다.
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ | a⁰ = 1 | a⁻ⁿ = 1 / aⁿ
문제. 2⁻³ · 2⁵의 값을 구하라.
풀이. 음수 지수라고 겁먹을 필요 없다. 법칙 그대로 지수를 더한다: 2⁻³⁺⁵ = 2² = 4. 확인해보자. 2⁻³ = 1/8, 2⁵ = 32, 곱하면 32/8 = 4. 음수 지수는 단지 "분모로 내려간 곱셈"일 뿐이다. ∎
1.2분수 지수
지수가 정수일 때 법칙은 명확하다. 그렇다면 2^(1/2) 같은 것은 무슨 뜻일까? 답은 법칙을 그대로 밀어붙이는 데서 나온다.
법칙 (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ이 분수 지수에서도 성립한다고 요구하자. 그러면 (2^(1/2))² = 2^(1/2 · 2) = 2¹ = 2이다. 즉 2^(1/2)은 제곱하면 2가 되는 수 — 바로 √2다.
일반적으로 a^(1/n)은 n제곱하면 a가 되는 수, 곧 a의 n제곱근이다. 그리고 a^(m/n)은 a의 n제곱근을 m번 거듭제곱한 것이다.
문제. 8^(2/3)의 값을 구하라.
풀이. 두 가지 길이 있다. 길 A: 먼저 세제곱근을 취한다. 8^(1/3) = 2, 그 다음 제곱하면 2² = 4. 길 B: 먼저 제곱한다. 8² = 64, 그 다음 세제곱근을 취하면 64^(1/3) = 4. 두 길의 답이 같다. 작은 수를 먼저 만드는 길 A가 거의 항상 편하다. 큰 수를 만들고 나서 근호를 취하면 계산이 무거워진다. ∎
1.3근호식 간단히 하기
근호 안에 큰 수가 들어 있으면 보기 흉할 뿐 아니라 다루기도 어렵다. 간단히 하는 핵심은 완전제곱 인수를 찾아 밖으로 꺼내는 것이다.
예를 들어 √72를 보자. 72 = 36 · 2이고 36은 완전제곱이다. 따라서 √72 = √36 · √2 = 6√2. 곱셈에 대한 근호의 성질 √(ab) = √a · √b가 이 모든 작업의 기반이다.
문제. √48 + √27을 간단히 하라.
풀이. 각각을 정리한다. 48 = 16·3이므로 √48 = 4√3. 27 = 9·3이므로 √27 = 3√3. 이제 두 항이 같은 √3을 공유하므로 마치 동류항처럼 더한다: 4√3 + 3√3 = 7√3. 근호식 덧셈은 근호 부분이 같아야 가능하다 — 마치 4x + 3x = 7x처럼. ∎
1.4분모의 유리화
분모에 근호가 있는 분수, 예컨대 1/√2는 보통 "덜 정리된" 형태로 본다. 분모를 유리수로 만드는 작업을 유리화(rationalizing)라 한다.
핵심 도구는 "1을 곱한다"는 단순한 생각이다. 1/√2에 √2/√2(=1)를 곱하면 √2/2가 된다. 값은 변하지 않고 형태만 깔끔해졌다.
분모가 a + √b 꼴이면 켤레(conjugate) a − √b를 곱한다. 합과 차의 곱 공식 (a+√b)(a−√b) = a² − b가 근호를 완전히 없애준다.
문제. 1 / (3 − √5)의 분모를 유리화하라.
풀이. 분모의 켤레는 3 + √5이다. 분자·분모에 함께 곱한다:
1/(3−√5) · (3+√5)/(3+√5) = (3+√5) / (9 − 5) = (3+√5)/4
분모 (3−√5)(3+√5) = 3² − (√5)² = 9 − 5 = 4로 근호가 사라졌다. 답은 (3+√5)/4. ∎
1.5로그
지수가 "밑을 몇 번 곱했는가"를 묻는다면, 로그(logarithm)는 그 질문을 거꾸로 한다 — "이 결과를 얻으려면 밑을 몇 번 곱해야 했는가?"
2³ = 8을 알고 있다. 로그는 같은 사실을 다른 방향에서 본다: "8을 얻으려면 2를 3번 곱해야 한다", 즉 log₂ 8 = 3. 로그와 지수는 같은 진실을 보는 두 개의 창문이다.
지수 법칙을 로그의 언어로 번역하면 로그 법칙이 된다. 곱셈이 덧셈으로, 나눗셈이 뺄셈으로, 거듭제곱이 곱셈으로 바뀐다 — 로그가 17세기에 천문학자들의 계산을 혁명적으로 줄여준 이유가 바로 이것이다.
log_b(x/y) = log_b x − log_b y
log_b(xⁿ) = n · log_b x
log_b x = (log_c x) / (log_c b) (밑변환)
문제. log₂ x + log₂(x − 2) = 3을 만족하는 x를 구하라.
풀이. 합의 법칙으로 좌변을 하나로 모은다: log₂[ x(x−2) ] = 3. 로그의 정의를 쓰면 x(x−2) = 2³ = 8. 전개하면 x² − 2x − 8 = 0, 인수분해하면 (x−4)(x+2) = 0. 따라서 x = 4 또는 x = −2.
검산이 필수다. x = −2이면 log₂(−2)가 되어 정의되지 않는다(진수는 양수여야 한다). 따라서 버린다. 정답은 x = 4 하나뿐이다. ∎
1.6예제 모음 — 경시 문제 맛보기
지수와 로그의 진짜 힘은 영리한 변형에서 드러난다. 다음 문제들을 직접 풀어본 뒤 풀이를 보라.
문제. 2¹⁰⁰과 3⁶⁰ 중 어느 것이 큰가?
풀이. 직접 계산은 불가능하다. 지수를 공통 인수로 묶어 밑을 비교하자. 2¹⁰⁰ = (2⁵)²⁰ = 32²⁰, 3⁶⁰ = (3³)²⁰ = 27²⁰. 이제 지수가 둘 다 20으로 같으므로 밑만 비교하면 된다. 32 > 27이므로 2¹⁰⁰ > 3⁶⁰. ∎
문제. log₂ 3 · log₃ 4 · log₄ 5 · log₅ 8의 값을 구하라.
풀이. 밑변환 공식 log_b a = (ln a)/(ln b)로 모두 자연로그로 바꾼다:
(ln3/ln2)·(ln4/ln3)·(ln5/ln4)·(ln8/ln5)
분자와 분모가 도미노처럼 연쇄적으로 약분된다(망원경 곱셈). 남는 것은 ln8 / ln2. 그런데 ln8 = ln2³ = 3ln2이므로 답은 3. ∎
| 지수 형태 | 로그 형태 | 읽는 법 |
|---|---|---|
| 2³ = 8 | log₂ 8 = 3 | 8은 2의 3제곱 |
| 10² = 100 | log₁₀ 100 = 2 | 100은 10의 2제곱 |
| 5⁰ = 1 | log₅ 1 = 0 | 어떤 밑이든 0제곱은 1 |
| b¹ = b | log_b b = 1 | 밑 자신의 로그는 1 |
| 2⁻¹ = 1/2 | log₂(1/2) = −1 | 음수 로그 = 분수 진수 |