14.1각과 삼각형
기하는 가장 직관적인 수학이다. 그러나 직관만으로는 부족하다 — 정확한 그림과 몇 가지 정리가 함께 가야 한다.
삼각형은 세 변과 세 각을 가진 가장 단순한 다각형이다. 모든 삼각형이 따르는 첫 번째 철칙: 세 내각의 합은 항상 180°다. 변의 길이가 어떻든, 모양이 어떻든 변하지 않는다.
삼각형은 변으로(정삼각형·이등변삼각형·부등변삼각형) 또는 각으로(예각·직각·둔각삼각형) 분류한다.
삼각부등식: |b − c| < a < b + c
문제. 삼각형의 두 변의 길이가 4와 9일 때, 세 번째 변의 길이 x의 범위는?
풀이. 삼각부등식에 따라 세 번째 변은 두 변의 합보다 작고, 차보다 커야 한다. 9 − 4 < x < 9 + 4, 즉 5 < x < 13. 예컨대 x = 14이면 변 4와 9를 아무리 벌려도 14에 닿지 못해 삼각형이 닫히지 않는다. ∎
14.2피타고라스 정리
기하학 전체에서 가장 유명한 정리 — 피타고라스 정리(Pythagorean Theorem). 직각삼각형에서 두 직각변의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같다.
이 정리는 거리를 다루는 모든 문제의 출발점이다. 좌표평면의 두 점 사이 거리, 입체도형의 대각선, 원 위의 점 — 모두 어딘가에 숨은 직각삼각형을 찾아 피타고라스 정리를 쓰는 일로 귀결된다.
문제. 직각변이 6과 8인 직각삼각형의 빗변은?
풀이. c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100이므로 c = 10. 이 (6, 8, 10)은 가장 유명한 (3, 4, 5)의 2배다. (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17) 같은 피타고라스 수(Pythagorean triple)를 외워두면 계산이 빨라진다. ∎
14.3합동과 닮음
두 삼각형이 합동(congruent)이면 모양과 크기가 완전히 같다 — 한쪽을 옮기고 돌리면 다른 쪽에 정확히 포개진다. 닮음(similar)이면 모양은 같고 크기만 다르다 — 확대·축소 관계다.
합동 조건
세 변이 같거나(SSS), 두 변과 끼인각이 같거나(SAS), 한 변과 양 끝각이 같으면(ASA) 합동이다. 세 정보면 삼각형이 유일하게 정해진다.
닮음 조건
두 각이 같으면(AA) 닮음이다 — 세 번째 각은 자동으로 같아진다(내각 합 180°). 닮은 삼각형에서는 대응변의 비가 모두 일정하다.
대응 길이의 비 = k : 1 , 넓이의 비 = k² : 1
문제. 키 1.5m인 사람의 그림자가 2m, 같은 시각 나무의 그림자가 12m다. 나무의 높이는?
풀이. 사람과 그림자, 나무와 그림자는 같은 태양 각도를 공유하므로 닮은 직각삼각형을 이룬다. 대응변의 비가 일정하므로 (사람 키)/(사람 그림자) = (나무 높이)/(나무 그림자):
1.5 / 2 = h / 12
교차곱하면 2h = 18, h = 9. 나무 높이는 9m. 직접 잴 수 없는 길이를 닮음으로 알아냈다. ∎
14.4삼각형의 넓이
삼각형의 넓이를 구하는 공식은 여러 가지이며, 주어진 정보에 따라 골라 쓴다.
두 변과 끼인각: A = (1/2) · a · b · sin C
헤론의 공식: A = √[ s(s−a)(s−b)(s−c) ] , s = (a+b+c)/2
문제. 세 변의 길이가 13, 14, 15인 삼각형의 넓이를 구하라.
풀이. 높이를 모르므로 헤론의 공식을 쓴다. 반둘레 s = (13+14+15)/2 = 21. 공식에 대입:
A = √[ 21·(21−13)·(21−14)·(21−15) ] = √[ 21·8·7·6 ]
21·8·7·6 = 7056이고 √7056 = 84. 넓이는 84. 세 변만으로 넓이가 나왔다. ∎
14.5원
원(circle)은 한 점(중심)에서 같은 거리(반지름)에 있는 모든 점의 모임이다. 그 완벽한 대칭성이 우아한 정리들을 낳는다.
둘레는 2πr, 넓이는 πr². 원에서 가장 중요한 정리 하나는 원주각 정리다 — 같은 호에 대한 원주각은 모두 같고, 그 호에 대한 중심각의 절반이다.
원주각 = (1/2) × 중심각 (같은 호)
문제. 지름이 AB인 원 위에 점 C가 있다(C는 A, B와 다름). ∠ACB는 몇 도인가?
풀이. ∠ACB는 호 AB에 대한 원주각이다. 지름 AB가 마주하는 중심각은 180°(일직선). 원주각은 중심각의 절반이므로 ∠ACB = 180°/2 = 90°. 지름 위에 그린 원주각은 항상 직각 — 탈레스의 정리다. C가 원 어디에 있든 변하지 않는다. ∎
14.6예제 모음 — 경시 문제 맛보기
문제. 한 변의 길이가 6인 정삼각형의 넓이를 구하라.
풀이. 기하 문제 해결의 핵심 기술 — 보조선 긋기. 한 꼭짓점에서 마주 보는 변에 수선을 내린다. 정삼각형의 수선은 그 변을 정확히 이등분하므로, 밑변 3, 빗변 6인 직각삼각형이 생긴다. 피타고라스 정리로 높이 h = √(6² − 3²) = √27 = 3√3. 넓이는 (1/2) · 6 · 3√3 = 9√3. ∎
문제. 점 A(1, 2)와 B(5, 5) 사이의 거리를 구하라.
풀이. 거리 공식은 피타고라스 정리의 변장(變裝)일 뿐이다. 두 점 사이의 가로 차 5 − 1 = 4, 세로 차 5 − 2 = 3을 두 직각변으로 하는 직각삼각형을 떠올린다. 빗변(=거리)은 √(4² + 3²) = √25 = 5. 거리 공식 √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]은 곧 피타고라스 정리다. ∎