13.1표본공간과 확률
어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과의 집합을 표본공간(sample space)이라 한다. 우리가 관심 있는 결과의 모임을 사건(event)이라 한다.
표본공간의 모든 결과가 똑같이 일어날 법하다면, 확률은 단순한 분수로 정의된다 — (원하는 경우의 수) ÷ (전체 경우의 수). 그래서 확률은 본질적으로 조합론(제12장)이다.
확률은 항상 0과 1 사이의 값이다. 0은 절대 안 일어남, 1은 반드시 일어남.
0 ≤ P ≤ 1
문제. 주사위 두 개를 던질 때 눈의 합이 7이 될 확률은?
풀이. 표본공간은 (첫째, 둘째) 순서쌍 전체 — 6 × 6 = 36가지. 합이 7인 경우를 직접 센다: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) — 6가지. 따라서 확률은 6/36 = 1/6. 두 주사위를 구별해서 세는 것이 핵심 — (3,4)와 (4,3)은 다른 결과다. ∎
13.2확률의 곱셈
여러 사건이 모두 일어날 확률은 어떻게 구할까? 사건들이 독립(independent)이면 — 한 사건이 다른 사건에 영향을 주지 않으면 — 각 확률을 곱한다.
곱의 법칙(제12장)이 확률에서 재등장하는 셈이다. "그리고"는 곱셈이다.
문제. 빨간 공 3개, 파란 공 2개가 든 주머니에서 연속으로 2개를 꺼낸다. 둘 다 빨간색일 확률은? (꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.)
풀이. 비복원 추출이므로 두 번째는 첫 번째에 영향을 받는다 — 독립이 아니다. 첫 공이 빨강일 확률: 3/5. 그 다음, 주머니에는 빨강 2개·파랑 2개만 남았다. 두 번째도 빨강일 확률: 2/4 = 1/2. 곱하면 (3/5)(1/2) = 3/10. 비독립일 때는 두 번째 확률을 갱신한 뒤 곱한다. ∎
13.3여사건의 확률
조합론에서 "반대를 세라"가 강력했듯(제12장), 확률에서도 같은 발상이 통한다. 여사건(complement)의 확률을 1에서 빼라.
어떤 사건 A가 일어나거나 일어나지 않거나 — 둘 중 하나는 반드시 성립한다. 따라서 P(A) + P(A가 안 일어남) = 1.
"적어도 하나"라는 표현이 나오면 거의 항상 여사건이 지름길이다.
문제. 동전을 4번 던질 때 앞면이 적어도 한 번 나올 확률은?
풀이. "적어도 한 번"을 직접 세면 1·2·3·4번 경우를 모두 합쳐야 한다. 여사건을 보자 — "앞면이 한 번도 안 나옴" = "4번 모두 뒷면". 그 확률은 (1/2)⁴ = 1/16. 따라서 구하는 확률은 1 − 1/16 = 15/16. 한 줄로 끝났다. ∎
13.4경우 나누기
한꺼번에 셀 수 없는 사건은 겹치지 않는 여러 경우로 나누어 각각의 확률을 구한 뒤 더한다. 합의 법칙의 확률 버전이다.
핵심 조건: 나눈 경우들이 서로 배타적(동시에 일어날 수 없음)이어야 한다. 그래야 단순히 더할 수 있다.
문제. 동전을 3번 던질 때 앞면이 정확히 2번 나올 확률은?
풀이. 앞면 2번이 어느 자리에 나오는지로 경우를 나눈다 — 앞앞뒤, 앞뒤앞, 뒤앞앞. 세 자리 중 앞면이 나올 2자리를 고르는 것이므로 C(3,2) = 3가지. 각 결과(예: 앞앞뒤)의 확률은 (1/2)³ = 1/8로 모두 같다. 배타적인 3가지를 더하면 3 × 1/8 = 3/8. 조합이 경우의 수를 세어준다. ∎
13.5기댓값 — 평균적으로 얼마인가
기댓값(expected value)은 "시행을 무수히 반복했을 때 평균적으로 얻게 될 값"이다. 각 결과의 값에 그 확률을 곱해 모두 더한다 — 확률을 가중치로 한 평균이다.
문제. 공정한 주사위 한 개를 던질 때 나오는 눈의 기댓값은?
풀이. 결과는 1~6, 각각의 확률은 1/6로 같다. 기댓값은 1·(1/6) + 2·(1/6) + … + 6·(1/6) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5. 주사위에 3.5라는 눈은 없지만, 수천 번 던진 평균은 3.5에 가까워진다. ∎
13.6예제 모음 — 경시 문제 맛보기
문제. 3명의 사람이 각자 1~5 중 한 수를 무작위로 고른다. 적어도 두 사람이 같은 수를 고를 확률은?
풀이. "적어도" — 여사건이다. 여사건은 "세 사람 모두 다른 수". 첫 사람은 아무거나(5/5), 둘째는 첫 사람과 다르게(4/5), 셋째는 둘과 다르게(3/5). 모두 다를 확률은 (5/5)(4/5)(3/5) = 60/125 = 12/25. 따라서 구하는 확률은 1 − 12/25 = 13/25. ∎
문제. 어떤 게임에서 주사위를 던져 6이 나오면 600원을 받고, 그 외에는 60원을 잃는다. 한 번 던질 때의 기댓값은? 이 게임을 해야 하는가?
풀이. 6이 나올 확률 1/6, 값 +600. 그 외 확률 5/6, 값 −60. 기댓값 E = 600·(1/6) + (−60)·(5/6) = 100 − 50 = 50원. 기댓값이 양수(+50원)이므로 — 장기적으로 보면 플레이어에게 유리한 게임이다. ∎